天空の8の字 – 準天頂衛星「みちびき」の軌道

2010年9月11日、種子島宇宙センターから、日本初の測位衛星「みちびき」が打ち上げられました。みちびきはGPSを補間する衛星で、現在 数十mの誤差があるGPSの測定精度を1m以下まで高めたり、GPSの影になりやすいビルの間や山間部で位置測定をするための実験などを行います。

みちびきは長時間日本の上空に留まる準天頂軌道と呼ばれる特殊な軌道を描きます。日本の上空を通る準天頂軌道は、ちょうど静止軌道を41度傾けて、ちょっと引き伸ばして、ちょっとずらしたような形。こんな感じです。

 

赤い線がみちびき、青い線が静止軌道です(この図は模式的なものです。必ずしも正確な形や比率を表してはいません)。

赤道上の静止衛星は23時間56分で地球を一周します。おなじように、みちびきの軌道も23時間56分で一周です。これは、地球が一回自転するのにかかる時間と同じ。このため、静止衛星はあたかも赤道上の一点に留まっているように見えます。では、みちびきはどうなるでしょうか?単純に考えると、南北を23時間56分で往復しそうな気がしますが、そうはなりません。

Image : GoogleSatTrack / Google

これがみちびきの一日の動きを地球の表面に描いたもの。みちびきは地図の上で非対称の8の字を描きます。なぜ、こんな形になるんでしょうか?理由は2つ。一つはみちびきの軌道が傾いていること、もう一つは楕円軌道を描いていることです。前者で軌道が8の字になり、後者で8の字が非対称に歪みます。

軌道が8の字を描く理由 – 軌道の傾き

まずは8の字になる理由からいきましょう。みちびきは地球を一周する間に南北を往復しますが、それと同時に東西に自転から遅れたり進んだりします。自転から 遅れる→進む→遅れる→進む→遅れるで23時間56分。これと南北の動きが組み合わさると、きれいな8の字になるんです。ではなぜ衛星が地球の動きから進んだり遅れたりするのか?

話を分かりやすくするために、みちびきが円軌道を描いていることにします。この場合、軌道は静止衛星の軌道を傾けたのと同じ軌道になります。みちびきの通り道を地球に投影するとこんな感じ。先ほどと同じく、赤い円がみちびき、青い円が静止軌道=赤道です。

さて、まず地面の動くスピードを考えます。地球は球をしているので、緯度によって一周するのに必要な距離(=経度の線の長さ)が違います。赤道は一周約4万キロありますが、 日本のあたり、緯度35度付近だと、ぐるりは3万3千キロぐらいしかありません。ということは、地面が1時間あたりに進む距離は赤道から離れれば離れるほど遅くなる、ということです。

次は衛星の動きを考えましょう。赤道を横切る時、経度の線(ここでは赤道です)と衛星の進む角度の差は一番大きくなります。ということは、衛星の東西方向の動きは一番小さくなるということです。逆に衛星の緯度が一番高いところでは、ほとんど赤道と平行に動きますから、衛星の東西の動きは一番大きくなります。

ここまでの話を図にまとめると、こんな感じ。

地表は緯度が高くなるほど遅くなり、衛星は緯度が高くなるほど東西方向の動きが速くなる… さて、2つの動きをあわせてみます。ちょっとややこしいですが、上の絵を見ながら動きを想像してみてください。

赤道上からスタートします。赤道の近くではみちびきは赤道に対して斜めに北へ昇っていきます。このあたりでは衛星より地面の方が早いので、衛星は地面に対して徐々に遅れていきます。

赤道上では、地表の速度は時速1673.6km/h、対するみちびきの東西方向の動きは1183.4km/h。

緯度が高くなるにしたがって地面はどんどん遅くなり、衛星は経度の線と平行に近づいて地面に対してどんどん速くなります。ある時点で、地面より衛星のほうが速くなって、衛星は徐々に遅れを取り戻し始めます。そして最高地点で地表を追い抜きます。

最高地点では、地表の速度は、時速1371.1km/h、対するみちびきは1673.6km/h (この値はみちびきが円軌道を描いていると考えたときの数字であることに注意してください。後述しますが、実際にはもう少し遅くなります)。

さて、今度は衛星は南へと下りながら、さっきとは逆のプロセスを繰り返します。緯度が下がるにしたがって、徐々に衛星の東西方向の動きが遅くなり、逆に地面はどんどん速くなります。やがて地面のほうが速くなり、衛星は地面に対して遅れ始めます。

南半球でも同じことが起こります。南に行くに従って、衛星の東西方向の動きが速く、地面が遅くなります。

これが、「みちびき」の軌道が8の字を描く理由です。ただし、軌道が傾いているだけだと、8の字は赤道をはさんで対象形になります。上で示したような非対称の8の字になるには、もう一つの要素が必要になります。

8の字が歪む理由 – 楕円軌道

さて、もう一度最初にあげたみちびきの軌道を見てください。

実際のみちびきの軌道は赤道をはさんだ対称形ではなく、北の方が小さく南が大きな非対称の8の字になっています。これはどうしてでしょうか?これは、みちびきの軌道が円ではなく、楕円をしていることと関係しています。

楕円軌道を巡る衛星の速度は一定ではありません。中心の星に近いところでは速く、遠いところでは遅くなります。

これは高校の地学の授業を受けた人なら知っているはず。そう、有名なケプラーの第2法則です。言葉で書けば「楕円軌道を描く天体が単位時間当たりに描く扇形の面積は同じ」 というもの。上の図でいえば2つの赤い扇形の面積が同じなら、矢印の長さを通り過ぎる時間も同じ、ということになります。中心の星から離れて扇形が細長くなれば、弧の長さは短くなり、速度は遅くなります。逆に中心の星に近づいて扇形が太くなれば、弧の長さは長くなり、速度は速くなります。

みちびきの場合、なるべく長い時間日本の近くに留まるために、楕円の一番地球から遠くなる部分が一番北に来るようになっています。つまり、地上から見ると北に行くほど衛星の動きが遅く、南にいくほど速くなる、ということです。

さて、これを上の軌道が傾いていることによる効果とあわせて考えてみましょう。さきほど、軌道が斜めになっていることにより、緯度が高くなるほど衛星の東西方向の動きは速く、地表は遅くなると書きました。当然、地表の速さは変わりません。楕円軌道の効果は、北半球では衛星の動きをキャンセルして小さくする方向に、南半球ではより大きくする方向に働きます。

つまり、楕円軌道を描いていることで、8の字の上の丸は小さく、下の丸は大きくなるということです。これがみちびきの軌道があんな形をしている理由です。

 

image: Starlit Night

これは、東経135.00、北緯36.66の地点、日本の子午線上にある明石市立天文科学館から見たみちびきの軌道。赤いドットはほぼ一定の時間ごとについています。

みちびきの場合は、8の字の上の小さい円を廻るのに約8時間かかります。もし、同じ軌道に3機衛星を置いて順々にこの小さい円に入るようにしてあげれば、 24時間常に少なくとも1機の衛星がこの小さい円の中にいる、という状態を作ることができます。これが準天頂衛星のしくみ。日本の真上には静止衛星を置く ことは出来ませんが(静止衛星を置けるのは赤道の上だけです)、日本の上空に長く留まる衛星を複数上げてあげれば、あたかも一つの衛星がずーっと日本の上空で 円を描いているように見せかけることが出来る、というわけです。

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